Question

18．已知點(diǎn)A（0，-1）是拋物線C：x²=2py（p＞0）準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上且滿(mǎn)足|PF|=m|PA|，當(dāng)m取最小值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以原點(diǎn)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線上，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 求得拋物線的方程，過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結(jié)合||PF|=m|PA|，可得$\frac{|PN|}{|PA|}$=m，設(shè)PA的傾斜角為α，則當(dāng)m取得最小值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：點(diǎn)A（0，-1）是拋物線C：x²=2py（p＞0）準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，可得p=2，
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y，
則拋物線的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=-1，
過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，
則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，
∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，則$\frac{|PN|}{|PA|}$=m，
設(shè)PA的傾斜角為α，則sinα=m，
當(dāng)m取得最小值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，
設(shè)直線PA的方程為y=kx-1，代入x²=4y，
可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為|PA|-|PF|=2（$\sqrt{2}$-1），
∴雙曲線的離心率為$\frac{2}{2（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$+1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查雙曲線、拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解答此題的關(guān)鍵是明確當(dāng)m取得最小值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，屬中檔題．