Question

12．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，$\overrightarrow{BK}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{B{B}_{1}}$，$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{C{C}_{1}}$，則平面AKM與平面ABCD所成的銳二面角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)AB=4，設(shè)平面AKM的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AK}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$，取平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．利用cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)AB=4，則D（0，0，0），A（4，0，0），K（4，4，1），M（0，4，2），
$\overrightarrow{AK}$=（0，4，1），$\overrightarrow{AM}$=（-4，4，2），
設(shè)平面AKM的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AK}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{4y+z=0}\\{-4x+4y+2z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=（1，-1，4），
取平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．
則cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{18}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
設(shè)平面AKM與平面ABCD所成的銳二面角為θ．
則cosθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sinθ=$\frac{1}{3}$，
∴tanθ=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用平面法向量的夾角求出二面角的方法、向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．