Question

20．已知實數x，y滿足方程x²+y²=3，求$\frac{y+1}{x+3}$的范圍．

Answer 1

分析 設B（x，y）為圓x²+y²=3上一點，A（-3，-1）．由直線的斜率公式得m=$\frac{y+1}{x+3}$是直線AB的斜率，因此作出圖形并加以觀察，根據直線與圓的位置關系建立關系式求出m的最大、最小值，即得m的取值范圍．

解答 解：根據題意，可得
設A的坐標為（-3，-1），B（x，y）為圓x²+y²=3上一點，
令m=$\frac{y+1}{x+3}$，∴m可看作直線AB的斜率，
作出圖形，當直線AB與圓相切時，m達到最值；
m=$\frac{y+1}{x+3}$可得y+1=mx+3m，即mx-y+3m-1=0．
直線與圓相切，可得$\sqrt{3}$=$\frac{|3m-1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
解得：m=$\frac{3±\sqrt{21}}{6}$
則$\frac{y+1}{x+3}$的范圍為[$\frac{3-\sqrt{21}}{6}$，$\frac{3+\sqrt{21}}{6}$]．

點評 本題著重考查了直線的斜率、圓的方程、直線與圓的位置關系，考查轉化思想以及數形結合的應用，屬于中檔題．