Question

11．如果定義在R上的函數(shù)f（x）對任意兩個不等的實數(shù)x₁，x₂都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱函數(shù)f（x）為“Z函數(shù)”．給出函數(shù)：①y=-x³+1；②y=2^x；③$y=\left\{{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}}\right.$；④$y=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+4x，x≥0}\\{-{x^2}+x，x＜0}\end{array}}\right.$．以上函數(shù)為“Z函數(shù)”的序號為②④，．

Answer 1

分析 利用已知條件推出函數(shù)的單調性，然后判斷即可．

解答 解：定義在R上的函數(shù)f（x）對任意兩個不等的實數(shù)x₁，x₂都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），
可得：x₁[f（x₁）-f（x₂）]＞x₂[f（x₁）-f（x₂）]，
即（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
∴函數(shù)f（x）為“Z函數(shù)”．就是增函數(shù)．
①y=-x³+1；是減函數(shù)，不是“Z函數(shù)”．
②y=2^x；是增函數(shù)，是“Z函數(shù)”．
③$y=\left\{{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}}\right.$；表示增函數(shù)，不是“Z函數(shù)”．
④$y=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+4x，x≥0}\\{-{x^2}+x，x＜0}\end{array}}\right.$．函數(shù)是增函數(shù)，是“Z函數(shù)”．
故答案為：②④．

點評 本題考查函數(shù)的新定義，函數(shù)的單調性的應用，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用．