【題目】如圖所示，傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線的方程；

（2）若為銳角，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn).證明為定值，并求此定值.

【答案】（1）；（2）證明見解析；定值為8

【解析】

（1）根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程得，從而易得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.直線的斜率為，則直線方程為，代入拋物線方程整理后可和，這樣可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線與垂直可得的方程，在此方程中令得，計(jì)算化簡(jiǎn)得定值．

解（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，從而.

因此焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），又準(zhǔn)線方程的一般式為.

從而所求準(zhǔn)線的方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.直線的斜率為，則直線方程為.將此式代入，得.

故.

記直線與的交點(diǎn)為，則，.

故直線的方程為.

令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故

.

從而為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為研究患肺癌與是否吸煙有關(guān)，某機(jī)構(gòu)做了一次相關(guān)調(diào)查，制成如下圖的列聯(lián)表，其中數(shù)據(jù)丟失，但可以確定的是不吸煙人數(shù)與吸煙人數(shù)相同，吸煙患肺癌人數(shù)占吸煙總?cè)藬?shù)的；不吸煙的人數(shù)中，患肺癌與不患肺癌的比為.

患肺癌

不患肺癌

合計(jì)

吸煙

不吸煙

總計(jì)

（1）若吸煙不患肺癌的有4人，現(xiàn)從患肺癌的人中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查，求這兩人都是吸煙患肺癌的概率；

（2）若研究得到在犯錯(cuò)誤概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為患肺癌與吸煙有關(guān)，則吸煙的人數(shù)至少有多少？

附：，其中.

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）證明：①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，.

（2）是否存在最大的整數(shù)，使得函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；

（2）若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】黨的十九大明確把精準(zhǔn)脫貧作為決勝全面建成小康社會(huì)必須打好的三大攻堅(jiān)戰(zhàn)之一. 堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村真脫貧，堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合，幫助貧困村中60戶農(nóng)民種植蘋果、40戶農(nóng)民種植梨、20戶農(nóng)民種植草莓（每戶僅扶持種植一種水果），為了更好地了解三種水果的種植與銷售情況，現(xiàn)從該村隨機(jī)選6戶農(nóng)民作為重點(diǎn)考察對(duì)象；

（1）用分層抽樣的方法，應(yīng)選取種植蘋果多少戶？

（2）在上述抽取的6戶考察對(duì)象中隨機(jī)選2戶，求這2戶種植水果恰好相同的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）如圖，為拋物線上三點(diǎn)，且線段與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次組成公差為1的等差數(shù)列，若的面積是面積的，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn).在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年元旦班級(jí)聯(lián)歡晚會(huì)上，某班在聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球表演節(jié)目的游戲，在一個(gè)紙盒中裝有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，A同學(xué)不放回地每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則停止摸球，否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止．規(guī)定摸到紅球表演兩個(gè)節(jié)目,摸到白球或黃球表演一個(gè)節(jié)目，摸到黑球不用表演節(jié)目．

（1）求A同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率；

（2）記X為A同學(xué)摸球后表演節(jié)目的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). 設(shè)是的導(dǎo)函數(shù).

（Ⅰ）若時(shí)，函數(shù)在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍.

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