【題目】已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）證明：①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，.

（2）是否存在最大的整數(shù)，使得函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1)①直接作差，構(gòu)建新函數(shù)研究最值即可；②同樣作差構(gòu)建函數(shù)，研究最值即可；

(2)由題意可得，變量分離研究最值即可.

①令，

當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上為增函數(shù)，

因此，故.

②令，

，因此為增函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，故.

（2）據(jù)題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，又，

，

因此對(duì)一切有.

令，

則，，

故為增函數(shù)，

又，，

因此在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，記它為，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，因此，其中

由（1）可知恒成立，且當(dāng)時(shí)，成立

故

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

因此.

又

因此，即存在最大的整數(shù)28，使得在其定義域上是增函數(shù).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某汽車品牌為了了解客戶對(duì)于其旗下的五種型號(hào)汽車的滿意情況，隨機(jī)抽取了一些客戶進(jìn)行回訪，調(diào)查結(jié)果如下表：

汽車型號(hào)

I

II

III

IV

V

回訪客戶（人數(shù)）

250

100

200

700

350

滿意率

0.5

0.3

0.6

0.3

0.2

滿意率是指：某種型號(hào)汽車的回訪客戶中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值.

(Ⅰ) 從III型號(hào)汽車的回訪客戶中隨機(jī)選取1人，則這個(gè)客戶不滿意的概率為________；

(Ⅱ) 從所有的客戶中隨機(jī)選取1個(gè)人，估計(jì)這個(gè)客戶滿意的概率；

(Ⅲ) 汽車公司擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同型號(hào)汽車的滿意率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩種型號(hào)汽車的滿意率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪種型號(hào)汽車的滿意率增加0.1，哪種型號(hào)汽車的滿意率減少0.1，使得獲得滿意的客戶人數(shù)與樣本中的客戶總?cè)藬?shù)的比值達(dá)到最大？（只需寫出結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】天干地支，簡(jiǎn)稱為干支，源自中國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)代對(duì)天象的觀測(cè).“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成，以此往復(fù)，60年為一個(gè)輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個(gè)年份中任取2個(gè)年份，則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)某種書籍每?jī)?cè)的成本費(fèi)（元）與印刷冊(cè)數(shù)（千冊(cè)）的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

4.83

4.22

0.3775

60.17

0.60

-39.38

4.8

其中，.

為了預(yù)測(cè)印刷千冊(cè)時(shí)每?jī)?cè)的成本費(fèi)，建立了兩個(gè)回歸模型：，.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，你認(rèn)為選擇哪個(gè)模型預(yù)測(cè)更可靠？（只選出模型即可）

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)和（1）中的模型選擇，求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)印刷千冊(cè)時(shí)每?jī)?cè)的成本費(fèi).

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，四邊形為菱形，，，平面平面.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】盒子里裝有4張卡片，上面分別寫著數(shù)字1，1，2，2，每張卡片被取到的概率相等.先從盒子中任取1張卡片，記下上面的數(shù)字，然后放回盒子內(nèi)攪勻，再?gòu)暮凶又须S機(jī)任取1張卡片，記下它上面的數(shù)字.

（1）求的概率；

（2）設(shè)“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件，求的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】閱讀下面一道題目的證明，指出其中的一處錯(cuò)誤。題目：平面上有六個(gè)點(diǎn)，任何三點(diǎn)都是三邊互不相等三角形的頂點(diǎn)，則這些三角形中有一個(gè)的最短邊又是另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊。證明：第一步，對(duì)已知的六個(gè)點(diǎn)作兩兩連線，可以得出15條邊，記為，，…，.第二步，由于任何三點(diǎn)組成的都是“三邊互不相等的三角形”，因此，15條邊互不相等不妨設(shè).第三步，由于“任何三點(diǎn)都是三邊互不相等三角形的頂點(diǎn)”，因此，任取三條邊都可以組成三角形，則、、組成的三角形的最長(zhǎng)邊，也是、、組成的三角形的最短邊,命題得證.這三步中，第______步有錯(cuò)誤，理由是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線的方程；

（2）若為銳角，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn).證明為定值，并求此定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AC，平面BB1C1C⊥底面ABCD，點(diǎn)M、F分別是線段AA1、BC的中點(diǎn)．

（1）求證：AF⊥DD1；

（2）求證：AF∥平面MBC1．

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