Question

15．在△OMN中，點(diǎn)A在OM上，點(diǎn)B在ON上，且AB∥MN，2OA=OM，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，則終點(diǎn)P落在四邊形ABNM內(nèi)（含邊界）時(shí)，$\frac{y+x+2}{x+1}$的取值范圍為[$\frac{4}{3}$，4]．

Answer 1

分析 利用三點(diǎn)共線得出1≤x+y≤2，作出平面區(qū)域，根據(jù)斜率的幾何意義得出$\frac{y+1}{x+1}$的范圍，從而得出$\frac{y+x+2}{x+1}$的取值范圍．

解答 解：∵AB∥MN，2OA=OM，
∴AB是△OMN的中位線．
∴當(dāng)P在線段AB上時(shí)，x+y=1，當(dāng)P在線段MN上時(shí)，x+y=2，
∵終點(diǎn)P落在四邊形ABNM內(nèi)（含邊界），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{1≤x+y≤2}\end{array}\right.$．
作出平面區(qū)域如圖所示：

令k=$\frac{y+1}{x+1}$，則k表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)C（x，y）與點(diǎn)Q（-1，-1）的連線的斜率，
由可行域可知當(dāng)（x，y）與B（2，0）重合時(shí)，k取得最小值$\frac{1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)（x，y）與A（0，2）重合時(shí)，k取得最大值$\frac{2+1}{1}$=3，
∴$\frac{1}{3}$≤k≤3．
∵$\frac{y+x+2}{x+1}$=$\frac{y+1}{x+1}$+1=k+1，
∴$\frac{4}{3}$≤$\frac{y+x+2}{x+1}$≤4．
故答案為[$\frac{4}{3}$，4]．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的運(yùn)算，線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于中檔題．