Question

6．已知橢圓的焦點坐標為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），過F₂垂直于長軸的直線交橢圓于P、Q兩點，且$|PQ|=2\sqrt{2}$，
（1）求橢圓的方程；
（2）M為橢圓的上頂點，過點M作直線MA、MB交橢圓于A、B兩點，直線MA、MB的斜率分別為k₁、k₂，且k₁+k₂=8，求證：AB過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的通徑公式，及橢圓的性質(zhì)a²=b²+1，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，及直線的斜率公式，即可求得m與k的關(guān)系，代入直線方程，即可求得直線恒過定點；當直線l的斜率不存在時，根據(jù)斜率公式，即可求得直線l的方程，即可證明直線AB過定點．

解答 解：（1）由已知得c=2，丨PQ丨=$\frac{2^{2}}{a}$=2$\sqrt{2}$，即$\sqrt{2}$a=b²，①
由a²=b²+c²=b²+1，②
由①②解得：b=2，a=2$\sqrt{2}$
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）證明：若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程為y=kx+m，且m≠±2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，
x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$，
由已知可知：$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}}$=8，
則$\frac{k{x}_{1}+m-2}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}+m-2}{{x}_{2}}$=8，
即2k+（m-2）$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=8，…（8分）
∴k-$\frac{mk}{m+2}$=4，整理得m=$\frac{1}{2}$k-2．
故直線AV的方程為y=kx+$\frac{1}{2}$k-2，即y=k（x+$\frac{1}{2}$）-2．
所以直線AB過定點（-$\frac{1}{2}$，-2）． …（10分）
若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x₀，
設(shè)A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知$\frac{{{y_0}-2}}{x_0}+\frac{{-{y_0}-2}}{x_0}=8$，
得${x_0}=-\frac{1}{2}$．此時AB方程為$x=-\frac{1}{2}$，顯然過點（-$\frac{1}{2}$，-2）．
綜上，直線AB過定點（-$\frac{1}{2}$，-2）．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．