設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，對(duì)任意的n∈N*，an+2是an+1與an的等差中項(xiàng)．
（1）設(shè)bn=an+1-an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；
（2）寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（不要求計(jì)算過(guò)程），求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)．
【答案】
分析：（1）根據(jù)a
n+2是a
n+1與a
n的等差中項(xiàng)，可得2a
n+2=a
n+1+a
n，整理可得a
n+2-a
n=-
（a
n+1-a
n），利用b
n=a
n+1-a
n，可得數(shù)列{b
n}是首項(xiàng)為1，公比為-
的等比數(shù)列，從而可求通項(xiàng)公式；
（2）利用疊加法可求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式，由（1），b
n=a
n+1-a
n=
，可得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a
n+1＜a
n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a
n+1＞a
n，于是可得數(shù)列{a
n}中的最大項(xiàng)必在數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)中產(chǎn)生，確定數(shù)列{a
2n}為單調(diào)遞減數(shù)列，即可求得數(shù)列{a
n}中的最大項(xiàng)．
解答：（1）證明：∵a
n+2是a
n+1與a
n的等差中項(xiàng)
∴2a
n+2=a
n+1+a
n，
∴a
n+2-a
n=-
（a
n+1-a
n）
∵b
n=a
n+1-a
n，∴b
n+1=-
b
n，
∵b
1=a
2-a
1，a
1=1，a
2=2，
∴b
1=1，∴數(shù)列{b
n}是首項(xiàng)為1，公比為-
的等比數(shù)列，
∴b
n=
；
（2）解：∵a
n=a
1+（a
2-a
1）+…+（a
n-a
n-1）=1+b
1+…+b
n-1=1+
=
由（1），b
n=a
n+1-a
n=
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a
n+1-a
n＜0，∴a
n+1＜a
n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a
n+1-a
n＞0，∴a
n+1＞a
n，
于是可得數(shù)列{a
n}中的最大項(xiàng)必在數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)中產(chǎn)生
∵a
2n+2-a
2n=
×
＜0
∴a
2n+2＜a
2n，
∴數(shù)列{a
2n}為單調(diào)遞減數(shù)列
∴數(shù)列{a
n}中的最大項(xiàng)為
=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的單調(diào)性，正確確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．
