Question

8．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)B（0，1）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：y=k（x+2）交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2b，b=1，解得a=2，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立直線l的方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得Q的坐標(biāo)，由點(diǎn)B在以PQ為直徑圓內(nèi)，得∠PBQ為鈍角或平角，即有$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}＜0$，運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題意知，a=2b，b=1，解得a=2，
可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，（*）
依題意：直線l：y=k（x+2）恒過(guò)點(diǎn)（-2，0），
此點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，所以x₁=-2，y₁=0 ①，
由（*）式，${x_1}+{x_2}=-\frac{{16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$ ②，
得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4k③，
由①②③，可得${x_2}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，\;{y_2}=\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$，
由點(diǎn)B在以PQ為直徑圓內(nèi)，得∠PBQ為鈍角或平角，
即$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}＜0$．$\overrightarrow{BP}=（-2，\;1），\;\overrightarrow{BQ}=（{x_2}，\;{y_2}-1）$
$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=-2{x_2}-{y_2}+1＜0$．即$\frac{{4-16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}+\frac{4k}{{1+4{k^2}}}-1＞0$，
整理得20k²-4k-3＜0，解得$k∈（{-\frac{3}{10}，\;\frac{1}{2}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，考查實(shí)數(shù)的取值范圍，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查點(diǎn)在圓內(nèi)的條件：點(diǎn)與直徑的端點(diǎn)的張角為鈍角或平角，運(yùn)用數(shù)量積小于0，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．