分析 (Ⅰ)利用離心率以及斜率公式列出方程組,即可求解C的方程;
(Ⅱ)(i)設(shè)E(x0,y0)是C上一點,從坐標原點O向圓E:(x-x0)2+(y-y0)2=3作兩條切線,分別與C交于P,Q兩點,直線OP,OQ的斜率分別是k1,k2,推出$\frac{{|{k_1}{x_0}-{y_0}|}}{{\sqrt{1+{k_1}^2}}}=\sqrt{3}$,$\frac{{|{k_2}{x_0}-{y_0}|}}{{\sqrt{1+{k_2}^2}}}=\sqrt{3}$,整理${k_1}•{k_2}=\frac{{{y_0}^2-3}}{{{x_0}^2-3}}$,得到k1•k2=-$\frac{1}{3}$;
(ii)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),利用韋達定理轉(zhuǎn)化求解|OP|2+|OQ|2化簡求解為定值.
解答 解:(Ⅰ)由已知離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,F(xiàn)為C的右焦點(c,0),A(0,-2),
直線FA的斜率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.
可得:$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ \frac{2}{c}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\sqrt{3}\\ c=2\sqrt{2}\end{array}\right.$,
C的方程是$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$. …(4分)
(Ⅱ)(i)依題意有$\frac{{|{k_1}{x_0}-{y_0}|}}{{\sqrt{1+{k_1}^2}}}=\sqrt{3}$,$\frac{{|{k_2}{x_0}-{y_0}|}}{{\sqrt{1+{k_2}^2}}}=\sqrt{3}$,整理得$({x_0}^2-3){k_1}^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+{y_0}^2-3=0$,$({x_0}^2-3){k_2}^2-2{x_0}{y_0}{k_2}+{y_0}^2-3=0$.
所以k1,k2是關(guān)于x方程$({x_0}^2-3){x^2}-2{x_0}{y_0}x+{y_0}^2-3=0$的兩根,
所以${k_1}•{k_2}=\frac{{{y_0}^2-3}}{{{x_0}^2-3}}$,因為$\frac{{{x_0}^2}}{12}+\frac{{{y_0}^2}}{4}=1$,所以${y_0}^2=4-\frac{{{x_0}^2}}{3}$,
因此${k_1}•{k_2}=\frac{{4-\frac{{{x_0}^2}}{3}-3}}{{{x_0}^2-3}}=-\frac{1}{3}$. …(8分)
(ii)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則${y_1}^2{y_2}^2=\frac{1}{9}{x_1}^2{x_2}^2$,${y_1}^2=4-\frac{{{x_1}^2}}{3}$,${y_2}^2=4-\frac{{{x_2}^2}}{3}$,
所以$(4-\frac{{{x_1}^2}}{3})(4-\frac{{{x_2}^2}}{3})=\frac{1}{9}{x_1}^2{x_2}^2$,${x_1}^2+{x_2}^2=12$,從而${y_1}^2+{y_2}^2=8-\frac{{{x_1}^2+{x_2}^2}}{3}=4$,
因此$|OP{|^2}+|OQ{|^2}=({x_1}^2+{y_1}^2)+({x_2}^2+{y_2}^2)=16$.…(12分)
點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,橢圓方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
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A. | (x+1)2+(y-2)2=5 | B. | (x-2)2+(y-1)2=5 | C. | (x-1)2+(y+2)2=5 | D. | (x-2)2+(y+1)2=5 |
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A. | 1007 | B. | 1008 | C. | 1009 | D. | 1010 |
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A. | $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1(y≠0) | B. | $\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{5}$=1(x≠0) | C. | $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1(x≠3) | D. | $\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{5}$=1(y≠3) |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | D. | $\frac{{\sqrt{2}}}{16}$ |
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