Question

如圖（1），矩形ABCD中，AB=2AD=2a，E為DC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如圖（2），F(xiàn)為AE的中點(diǎn)．

（1）求證：DF⊥平面ABCE，
（2）求四棱錐D-ABCE的體積；    
（3）求證：BE⊥AD．

Answer 1

分析：（1）利用△ADE為等腰直角三角形，F(xiàn)是中點(diǎn)，可得DF⊥AE，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可證DF⊥平面ABCE；
（2）由（1）知：DF為四棱錐D-ABCE的高，DF=

2

2

a，根據(jù)底面為直角梯形求出底面面積，代入棱錐的體積公式計(jì)算；
（3）在△ABE中，求出BE、AE的長(zhǎng)，利用勾股定理可證AE⊥BE，從而證明BE⊥平面ADE，由線面垂直的性質(zhì)可證BE⊥AD．

解答：解：（1）證明：∵△ADE為等腰直角三角形，F(xiàn)是中點(diǎn)，∴DF⊥AE，
∵平面ADE⊥平面ABCE，DF?平面ADE，平面ADE∩平面ABCE=AE，
∴DF⊥平面ABCE；
（2）由（1）知：DF為四棱錐D-ABCE的高，DF=

2

2

a，
根據(jù)底面為直角梯形其面積為

AB+CE

2

×BC=

2a+a

2

×a=

3

2

a²；
∴VD-ABCE=

1

3

SABCE•DF=

1

3

•

3

2

a2•

2

2

a=

2

4

a3；
（2）證明：由（1）知：DF⊥平面ABCE，BE?平面ABCE，
∴DF⊥BE，
又AE=BE=

2

a，AB=2a，
∴AE²+BE²=AB²，∴AE⊥BE，
∵AE∩DF=F，AE，DF?平面ADE，
∴BE⊥平面ADE，從而有BE⊥AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了棱錐的體積公式，考查了學(xué)生的推理論證能力，屬于中檔題．