Question

20．已知函數(shù)f（x）=a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（Ⅰ）設(shè)$a=2，\;b=\frac{1}{2}$，求方程f（x）=2的根；
（Ⅱ）設(shè)$a=\frac{1}{3}，\;b≥3$，函數(shù)g（x）=f（x）-2，已知b＞3時(shí)存在x₀∈（-1，0）使得g（x₀）＜0．若g（x）=0有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求b的值．

Answer 1

分析 （I）直接解方程即可得出；
（II）對(duì)b=3和b＞3分情況討論，利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否唯一．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)$a=2，\;b=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=2^x+2^-x=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$，
令f（x）=2，即2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$=2，∴（2^x）²-2×2^x+1=0，
即（2^x-1）²=0，∴2^x=1，
解得：x=0．
（Ⅱ）（1）當(dāng)b=3時(shí)，g（x）=3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$-2≥2-2=0，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{{3}^{x}}$=3^x即x=0時(shí)取等號(hào)，
∴x=0是g（x）的唯一的零點(diǎn)，符合題意．
（2）當(dāng)b＞3時(shí)，$g（x）=f（x）-2={（\frac{1}{3}）^x}+{b^x}-2$，
顯然x=0是g（x）的一個(gè)零點(diǎn)，
∵當(dāng)b＞3時(shí)存在x₀∈（-1，0）使得g（x₀）＜0，且g（-2）＞0，
∴g（x）在（-2，x₀）必存在另一零點(diǎn)，
此時(shí)，g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．
綜上可得b=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，函數(shù)零點(diǎn)的求解，屬于中檔題．