Question

4．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}-2x+4}{x}}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x}&{x≤0}\end{array}\right.$的值域為（　�。�

• A． R
• B． （-∞，1]∪[2，+∞）
• C． [1，2]
• D． （-∞，-1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 可分別在每段上求函數(shù)f（x）的值域：x＞0時，可得到f（x）=$x+\frac{4}{x}-2$，從而根據(jù)基本不等式即可得出此時f（x）≥2；而x≤0時，配方便得f（x）=-（x+1）²+1，顯然此時f（x）≤1，把這兩種情況求得的范圍求并集即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：①x＞0時，f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+4}{x}$=$x+\frac{4}{x}-2≥2$；
當$x=\frac{4}{x}$，即x=2時取“=”；
②x≤0時，f（x）=-（x+1）²+1≤1；
當x=-1時取“=”；
∴綜上得原函數(shù)的值域為（-∞，1]∪[2，+∞）．
故選：B．

點評 考查函數(shù)值域的概念，分段函數(shù)值域的求法：在每段上求，再求并集，基本不等式的運用，注意判斷是否取到“=”，配方求二次函數(shù)值域的方法．