Question

5．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow$-3$\overrightarrow{a}$）=9．
（1）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$=a，$\overrightarrow{AC}$=b，求BC邊的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow$-3$\overrightarrow{a}$）=9⇒$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-3$
cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{-3}{2×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得θ．
（2）由$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，可得${\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=4+3-2×$2×\sqrt{3}×cosθ$=13．，即可．

解答 解：（1）∵（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow$-3$\overrightarrow{a}$）=9．∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow-3{\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow=9$⇒$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-3$
cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{-3}{2×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=150⁰
（2）∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$
∴${\overrightarrow{BC}}^{2}=（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）^{2}$=${\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=4+3-2×$2×\sqrt{3}×cosθ$=13．
∴$BC=\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，向量的模運(yùn)算，屬于中檔題．