Question

20．已知f（x）=lnx-ax-b
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，若存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥0成立，求證：ab$≤\frac{1}{{e}^{2}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出x＞0，f′（x）=$\frac{1}{x}-a$=$\frac{1-ax}{x}$，由a＞0和a≤0分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）由a＞0得f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1-b，從而lna+b≤-1，當(dāng)b≤0時，ab≤0＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，當(dāng)b＞0時，設(shè)h（x）=lnx-x，則h′（x）=$\frac{1}{x}-1$，h（x）_max=h（1）=ln1-1=-1，從而lnab=lna+lnb=（lna+b）+（lnb-b）≤lna+b-1≤-2，由此能證明ab$≤\frac{1}{{e}^{2}}$．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax-b，
∴x＞0，f′（x）=$\frac{1}{x}-a$=$\frac{1-ax}{x}$，
當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0，得0＜x＜$\frac{1}{a}$，由f′（x）＜0，得x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）．
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，∴f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）．
證明：（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，由（Ⅰ）知，當(dāng)x=$\frac{1}{a}$時，f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1-b，
∵存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥0成立，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1-b≥0，即lna+b≤-1，
當(dāng)b≤0時，ab≤0＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，
當(dāng)b＞0時，設(shè)h（x）=lnx-x，則h′（x）=$\frac{1}{x}-1$，
當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，
∴h（x）_max=h（1）=ln1-1=-1，
∴l(xiāng)nab=lna+lnb=（lna+b）+（lnb-b）≤lna+b-1≤-2，
∴ab≤$\frac{1}{{e}^{2}}$．
綜上：ab$≤\frac{1}{{e}^{2}}$．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)最值、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識，考查推量論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．