Question

已知函數(shù)f（x）=x³+（m-4）x²-3mx+（n-6）在定義域內(nèi)是奇函數(shù)．
（1）求m，n的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，2]的極值和最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇函數(shù)的定義，整理即得m=4，n=6；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，求出極值點(diǎn)，判斷極大值和極小值，比較端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得到最值．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=x³+（m-4）x²-3mx+（n-6）在定義域內(nèi)是奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），
則有-x³+（m-4）x²+3mx+（n-6）=-x³+（4-m）x²+3mx+（6-n），
即有m-4=0，n-6=0，即m=4，n=6；
（2）f（x）=x³-12x，導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-12，
令f′（x）=0，則x=±2，
由于x=-2處附近導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，則為極大值點(diǎn)，
由于x=2處附近導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，則為極小值點(diǎn)，
由于f（-2）=-8+24=16，f（2）=8-24=-16，f（-3）=-27+36=9，
故f（x）在區(qū)間[-3，2]的極大值為16，和最小值為-16，最大值為16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查奇函數(shù)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值和最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．