我們可以證明:已知sinθ=t(|t|≤1),則sin
θ
2
至多有4個(gè)不同的值.
(1)當(dāng)t=
3
2
時(shí),寫出sin
θ
2
的所有可能值;
(2)設(shè)實(shí)數(shù)t由等式log
1
2
2
(t+1)+a•log
1
2
(t+1)+b=0
確定,若sin
θ
2
總共有7個(gè)不同的值,求常數(shù)a、b的取值情況.
分析:(1)由t的值得到sinθ的值,然后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosθ的值,再利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求出sin
θ
2
所有可能的值;
(2)利用換元的思想,設(shè)u=log
1
2
(t+1)
,把原方程化為關(guān)于u的方程,要使sin
θ
2
有七個(gè)不同的值,必須sinθ有兩個(gè)不同的值,根據(jù)正弦函數(shù)的值域,可求出t的兩個(gè)解,一個(gè)為0,另一個(gè)解的范圍為(-1,0)∪(0,1),進(jìn)而求出此時(shí)a與b的取值范圍.
解答:解:(1)由題意得:sinθ=
3
2
⇒cosθ=±
1
2

∴1-2sin2
θ
2
=
1
2
或1-2sin2
θ
2
=-
1
2

解得:sin
θ
2
=
3
2
sin
θ
2
=-
3
2
sin
θ
2
=
1
2
sin
θ
2
=-
1
2
;
(2)令u=log
1
2
(t+1)
,原方程變?yōu)閡2+au+b=0,
要使sin
θ
2
有七個(gè)不同的值,必須sinθ有兩個(gè)不同的值,且t1=0,t2∈(-1,0)∪(0,1),
從而b=0,a∈(-∞,0)∪(0,1),
此時(shí),u1=log
1
2
(t1+1)=0
,u2=log
1
2
(t2+1)∈(-1,0)∪(0,+∞)
點(diǎn)評(píng):此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,二倍角的余弦函數(shù)公式,以及正弦函數(shù)的定義域及值域,利用了換元的思想,熟練掌握基本關(guān)系及公式是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044

如圖1-2-18(1),已知ABBD,CDBD,垂足分別為B、D,ADBC相交于點(diǎn)EEFBD,垂足為F,我們可以證明+ =成立(不要求證明),若將圖1-2-18(1)中的垂直改為斜交,如圖1-2-18(2),ABCDAD、BC相交于點(diǎn)E,過EEFAB,交BD于點(diǎn)F,則?

(1) + =還成立嗎?如果成立,請(qǐng)給出證明;如果不成立,請(qǐng)說明理由.?

(2)請(qǐng)找出SABDSBEDSBDC間的關(guān)系式,并給出證明.?

圖1-2-18

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1-2-18(1),已知ABBDCDBD,垂足分別為B、D,ADBC相交于點(diǎn)E,EFBD,垂足為F,我們可以證明+ =成立(不要求證明),若將圖1-2-18(1)中的垂直改為斜交,如圖1-2-18(2),ABCDAD、BC相交于點(diǎn)E,過EEFAB,交BD于點(diǎn)F,則

(1) + =還成立嗎?如果成立,請(qǐng)給出證明;如果不成立,請(qǐng)說明理由.

(2)請(qǐng)找出SABD、SBEDSBDC間的關(guān)系式,并給出證明.

圖1-2-18

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1-2-17(1),已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B、D,AD和BC相交于點(diǎn)E,EF⊥BD,垂足為F,我們可以證明成立(不要求證明),若將圖1-2-17(1)中的垂直改為斜交,如圖1-2-17(2),AB∥CD,AD、BC相交于點(diǎn)E,過E作EF∥AB,交BD于點(diǎn)F,則:

(1)還成立嗎?如果成立,請(qǐng)給出證明;如果不成立,請(qǐng)說明理由.(2)請(qǐng)找出S△ABD、S△BED和S△BDC間的關(guān)系式,并給出證明.

(1)                                             (2)

                            圖1-2-17

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