19．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點D是AB的中點，證明：
（1）BC1∥平面CDA1；
（2）平面ABB1A1⊥平面CDA1．

分析 （1）連接AC1交A1C于點G，連接DG，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形ACC1A1是平行四邊形，則AG=GC1，而AD=DB，則DG∥BC1，DG?平面A1DC，BC1?平面A1DC，根據(jù)線面平行的判定定理可知BC1∥平面A1DC；
（2）由正三棱柱的結構特征可知平面ABB1A1⊥平面ABC，再由D為AB的中點，得CD⊥AB，則CD⊥平面ABB1A1，由平面與平面垂直的判定得答案．

解答 證明：（1）連接AC1交A1C于點G，連接DG，
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形ACC1A1是平行四邊形，
∴AG=GC1，
∵AD=DB，
∴DG∥BC1
∵DG?平面A1DC，BC1?平面A1DC，
∴BC1∥平面A1DC；
（2）∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴平面ABB1A1⊥平面ABC，
∵D為AB的中點，∴CD⊥AB，則CD⊥平面ABB1A1，
而CD?平面ABC，
∴平面ABB1A1⊥平面CDA1．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了平面與平面垂直的判斷，考查學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．

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