Question

若函數(shù)f（x）=x³-3x+a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，并且極小值小于0，極大值大于0，求解即可．
解答：（本小題滿分12分）
解：由函數(shù)f（x）=x³-3x+a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
則函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，極小值小于0，極大值大于0；
由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以函數(shù)f（x）的兩個(gè)極，x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，x∈（-1，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴函數(shù)的極小值f（1）=a-2和極大值f（-1）=a+2．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x³-3x+a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以，解之，得-2＜a＜2．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，2）．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．