Question

5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知$（{a+b+c}）（{sinA+sinB-sinC}）=（{2+\sqrt{3}}）asinB$．
（1）求角C的大��；
（2）若b=8，c=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）正弦定理和余弦定理，即可求出角C的大小；
（2）由b=8，c=5，a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，求出a的值，再求△ABC的面積．

解答 解：（1）△ABC中，$（{a+b+c}）（{sinA+sinB-sinC}）=（{2+\sqrt{3}}）asinB$，
由正弦定理得，（a+b+c）（a+b-c）=（2+$\sqrt{3}$）ab，
整理得，a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，
由余弦定理得，cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{6}$；
（2）由b=8，c=5，a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，
解得a=4$\sqrt{3}$+3或a=4$\sqrt{3}$-3；
當(dāng)a=4$\sqrt{3}$-3時(shí)，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-3）×8×$\frac{1}{2}$=8$\sqrt{3}$-6，
當(dāng)a=4$\sqrt{3}$+3時(shí)，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$+3）×8×$\frac{1}{2}$=8$\sqrt{3}$+6．
綜上，△ABC的面積為8$\sqrt{3}$-6或8$\sqrt{3}$+6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦、余弦定理和三角形的面積計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．