Question

已知圓C的圓心在直線y=-2x上，且與直線2x+y-5=0相切于點（1，3）．
（1）求圓C的標準方程；
（2）過點（-2，

5

2

）的直線l截圓C所得弦長為4，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）設P₀（x₀，y₀）在圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²上，則圓在P₀（x₀，y₀）處的切線方程為l：（x-x₀）（x-a）+（y-y₀）（y₀-b）=r²，由此能求出圓C的標準方程．
（2）當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程為x=-2，符合條件；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為kx-y+2k+

5

2

=0，由過點（-2，

5

2

）的直線l截圓C所得弦長為4，得圓心（-1，2）到直線l的距離d=

5-4

=1，由此能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）設P₀（x₀，y₀）在圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²上，
則圓在P₀（x₀，y₀）處的切線方程為l：（x-x₀）（x-a）+（y-y₀）（y₀-b）=r²，
∵直線2x+y-5=0相切于點（1，3）．
∴r²=5，①且（1-a）²+（3-b）²=r²，②
∵圓C的圓心C（a，b）在直線y=-2x上，
∴b=-2a，③
聯(lián)立①②③，得（a+1）²=0，
解得a=-1，b=2，
∴圓C的標準方程為（x+1）²+（y-2）²=5．
（2）當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程為x=-2，
此時直線與圓C的交點為（-2，0），（-2，4），
直線l截圓C所得弦長為4，符合條件；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y-

5

2

=k（x+2），即kx-y+2k+

5

2

=0，
∵過點（-2，

5

2

）的直線l截圓C所得弦長為4，
∴圓心（-1，2）到直線l的距離d=

5-4

=1，
∴

|-k-2+2k+ 5 2 |

k2+1

=1，解得k=

3

4

，
∴直線l的方程為

3

4

x-y+2×

3

4

+

5

2

=0，整理得3x-4y+16=0，
綜上所述，直線l的方程為：x=-2或3x-4y+16=0．

點評：本題考查圓的方程與直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．