Question

【題目】已知點(diǎn)，，圓是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.

（1）若圓的切線在軸和軸上截距相等，求切線方程；

（2）若是圓外一點(diǎn)，從向圓引切線，為切點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求使最小的點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），，；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，依題意得，，，所以圓的方程為.下面分兩種情況討論，第一種情況，若截距均為，即圓的切線過原點(diǎn)，則可設(shè)該切線為，利用圓心到直線的距離等于半徑，可求得；第二種情況，若截距不為，可設(shè)切線為，同理利用圓心到直線的距離等于半徑求得或.綜上求得切線方程為，，；（2）題意，所以，即，整理得.而時(shí)，取得最小值.此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

試題解析：

（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，依題意得

，，

∴圓的方程為

（ⅰ）若截距均為0，即圓的切線過原點(diǎn)，則可設(shè)該切線為，即，

則有，解得

此時(shí)切線方程為或.

（ⅱ）若截距不為0，可設(shè)切線為即，

依題意，解得或3

此時(shí)切線方程為或.

綜上：所求切線方程為，，.

（2）∵，∴

即，整理得

而

時(shí)，取得最小值.

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.