Question

如圖，已知⊙O是四邊形ABCD的外接圓，AD=BC，E是AB延長線上一點(diǎn)，且BE×DC=AD×BC．
（Ⅰ）證明：AB∥CD；
（Ⅱ）求∠OCE的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,弦切角

專題：立體幾何

分析：（I）由AD=BC，可得∴∠ACD=∠BAC，進(jìn)而根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得到AB∥CD；
（Ⅱ）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，可得∠ADC=∠EBC，由BE×DC=AD×BC得：

BE

AD

=

BC

DC

，進(jìn)而可得△EBC∽△ADC，則∠BAC=∠ECB，延長CO交⊙O于F，連接BF，由∠FBC=90°，可得：∠OCE=∠ECB+∠BCF=∠BFC+∠BCF=90°．

解答： 證明：（I）∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且AD=BC，
∴∠ACD=∠BAC，
∴AB∥CD；

解：（Ⅱ）∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠ADC=∠EBC，
∵BE×DC=AD×BC，即

BE

AD

=

BC

DC

，
∴△EBC∽△ADC，
∴∠BAC=∠ECB，
延長CO交⊙O于F，連接BF，
則∠FBC=90°，
∴∠BFC=∠BAC=∠ECB，
∴∠OCE=∠ECB+∠BCF=∠BFC+∠BCF=90°．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是也圓相關(guān)的比例線段，圓心角定理，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．