Question

已知函數(shù)f（x）=2cos

x

2

（

3

cos

x

2

-sin

x

2

）．
（Ⅰ）設(shè)x∈[-

π

2

，

π

2

]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知c=1，f（C）=

3

+1，且△ABC的面積為

3

2

，求邊a和b的長．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=2cos(x+

π

6

)+

3

．x∈[-

π

2

，

π

2

]，即可求出f（x）的值域；
（Ⅱ）先求出C，再由三角形面積公式有ab=2

3

，由正弦定理得a²+b²=7．聯(lián)立方程即可解得．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2

3

cos2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

(1+cosx)-sinx
=2cos(x+

π

6

)+

3

．
x∈[-

π

2

，

π

2

]時，值域為[-1+

3

，2+

3

]．
（Ⅱ）因為C∈（0，π），由（1）知C=

π

6

．
因為△ABC的面積為

3

2

，所以

3

2

=

1

2

absin

π

6

，于是ab=2

3

．①
在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對邊分別是a，b．
由余弦定理得1=a2+b2-2abcos

π

6

=a2+b2-6，所以a²+b²=7．     ②
由①②可得

a=2 b= 3

或

a= 3 b=2.

．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和正弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．