Question

已知各項(xiàng)均為證書的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為s_n，首項(xiàng)為a₁，且a_n是

1

2

和s_n的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若aⁿ=(

1

2

)bn，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得2an=Sn+

1

2

，an＞0，利用公式即可求得通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）b_n=4-2n，利用等差數(shù)列求和公式即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知2an=Sn+

1

2

，an＞0，…（1分）
當(dāng)n=1時(shí)，2a1=a1+

1

2

     ∴a1=

1

2

；          …（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

，
兩式相減得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，整理得：

an

an-1

=2，…（5分）
∴數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
f(x)=2x+

2

x

+alnx，a∈R，…（6分）
（Ⅱ）由

a

2 n

=2-bn=22n-4得b_n=4-2n，…（9分）
所以，bn+1-bn=-2(n∈N*)，
所以數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，
∴Tn=-n2+3n．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，考查等差數(shù)列求和公式及運(yùn)用公式法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．