【題目】已知向量 =(cosωx﹣sinωx,sinωx), =(﹣cosωx﹣sinωx,2 cosωx),設(shè)函數(shù)f(x)= +λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng),其中ω,λ為常數(shù),且ω∈( ,1)
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)( ,0)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f(x)= +λ=(cosωx﹣sinωx)×(﹣cosωx﹣sinωx)+sinωx×2 cosωx+λ
=﹣(cos2ωx﹣sin2ωx)+ sin2ωx+λ
= sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin(2ωx﹣ )+λ
∵圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng),∴2πω﹣ = +kπ,k∈z
∴ω= + ,又ω∈( ,1)
∴k=1時(shí),ω=
∴函數(shù)f(x)的最小正周期為 =
(2)解:∵f( )=0
∴2sin(2× × ﹣ )+λ=0
∴λ=﹣
∴f(x)=2sin( x﹣ )﹣
由x∈[0, ]
∴ x﹣ ∈[﹣ , ]
∴sin( x﹣ )∈[﹣ ,1]
∴2sin( x﹣ )﹣ =f(x)∈[﹣1﹣ ,2﹣ ]
故函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的取值范圍為[﹣1﹣ ,2﹣ ]
【解析】(1)先利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì),求函數(shù)f(x)的解析式,再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式將函數(shù)f(x)化為y=Asin(ωx+φ)+k型函數(shù),最后利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和ω的范圍,計(jì)算ω的值,從而得函數(shù)的最小正周期;(2)先將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,求得λ的值,再求內(nèi)層函數(shù)的值域,最后將內(nèi)層函數(shù)看做整體,利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三點(diǎn)O(0,0),A(﹣2,1),B(2,1),曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿足| + |= ( + )+2.
(1)求曲線C的方程;
(2)動(dòng)點(diǎn)Q(x0 , y0)(﹣2<x0<2)在曲線C上,曲線C在點(diǎn)Q處的切線為直線l:是否存在定點(diǎn)P(0,t)(t<0),使得l與PA,PB都相交,交點(diǎn)分別為D,E,且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)?若存在,求t的值.若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方體中,點(diǎn)是四邊形的中心,關(guān)于直線,下列說(shuō)法正確的是( )
A. B.
C. 平面D. 平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件).已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為K(K為正整數(shù)).
(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,分別寫(xiě)出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間;
(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開(kāi)工,試確定正整數(shù)K的值,使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,則_____.
【答案】
【解析】
分子分母同時(shí)除以,把目標(biāo)式轉(zhuǎn)為的表達(dá)式,代入可求.
,則
故答案為:.
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,常用方法:(1)弦切互化法:主要利用公式, 形如等類(lèi)型可進(jìn)行弦化切;(2)“1”的靈活代換和的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.
【題型】填空題
【結(jié)束】
15
【題目】如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,為中點(diǎn),連接,則異面直線和所成角的余弦值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是梯形,,,,.
(1)證明:平面平面;
(2)若與平面所成的角為,,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,圓的普通方程為. 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ) 寫(xiě)出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
( Ⅱ ) 設(shè)直線 與軸和軸的交點(diǎn)分別為,為圓上的任意一點(diǎn),求的取值范圍.
【答案】(1);.
(2).
【解析】【試題分析】(I)利用圓心和半徑,寫(xiě)出圓的參數(shù)方程,將圓的極坐標(biāo)方程展開(kāi)后化簡(jiǎn)得直角坐標(biāo)方程.(II)求得兩點(diǎn)的坐標(biāo), 設(shè)點(diǎn),代入向量,利用三角函數(shù)的值域來(lái)求得取值范圍.
【試題解析】
(Ⅰ)圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
直線的直角坐標(biāo)方程為.
(Ⅱ)由直線的方程可得點(diǎn),點(diǎn).
設(shè)點(diǎn),則 .
.
由(Ⅰ)知,則 .
因?yàn)?/span>,所以.
【題型】解答題
【結(jié)束】
23
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù), .
(Ⅰ)若對(duì)于任意, 都滿足,求的值;
(Ⅱ)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),且,對(duì)任意的且 時(shí),有成立.
(1)判斷在上的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)解不等式;
(3)若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱(chēng)是上的有界函數(shù),其中稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)上界.已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合;
(3)若函數(shù)在上是以5為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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