Question

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù)，且，對(duì)任意的且 時(shí)，有成立．

（1）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；

（2）解不等式；

（3）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）或或.

【解析】

（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)以及題目所給已知條件，證得，由此判斷出函數(shù)在上遞增.（2）根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性列不等式組，解不等式組求得不等式的解集.（3）根據(jù)的單調(diào)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，對(duì)恒成立問(wèn)題來(lái)求解，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（1）證明任取且，則，

∵為奇函數(shù)，∴,

∴

由已知得，,

∴，即，∴在上單調(diào)遞增．

(2)∵在上單調(diào)遞增，∴，解得 .

不等式的解集為

(3)∵，在上單調(diào)遞增，∴在上，.

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，即，對(duì)恒成立．

設(shè).

①若，則，對(duì)恒成立．

②若，則為的一次函數(shù)，若，對(duì)恒成立，必須，且，∴或.

∴的取值范圍是或或.