Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）= ．
（1）證明方程f（x）=g（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有且僅有唯一實(shí)根；
（2）記max{a，b}表示a，b兩個(gè)數(shù)中的較大者，方程f（x）=g（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)的實(shí)數(shù)根為x0 ， m（x）=max{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根x1 ， x2（x1＜x2），判斷x1+x2與2x0的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：令F（x）=f（x）﹣g（x），

則F（x）=xlnx﹣ ，定義域是（0，+∞），

F′（x）=1+lnx+ ，

x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，∴F（x）在（1，2）遞增，

又F（1）=﹣ ＜0，F(xiàn)（2）=2ln2﹣ ＞0，

而F（x）在（1，+∞）上連續(xù)，

根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得：F（x）=0在區(qū)間（1，2）有且只有1個(gè)實(shí)根，

即方程f（x）=g（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有且僅有唯一實(shí)根

（2）解：x1+x2＜2x0，

證明過程如下：

顯然：m（x）= ，

當(dāng)1＜x＜x0時(shí)，m（x）= ，m′（x）= ＜0，

故m（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞x0時(shí)，m（x）=xlnx，m′（x）=1+lnx＞0，m（x）遞增，

要證x1+x2＜2x0，

即證x2＜2x0﹣x1，

由（1）知x1＜x0＜x2，g（x1）=f（x2）=n，

故即證f（x2）＜f（2x0﹣x1），

即證g（x1）＜f（2x0﹣x1），

即證 ＜（2x0﹣x1）ln（2x0﹣x1），（1＜x1＜x0＜2），（*），

設(shè)H（x）= ﹣（2x0﹣x）ln（2x0﹣x），（1＜x＜x0＜2），

H′（x）= +ln（2x0﹣x）+1，

∵1＜x＜x0＜2，

∴ +1＞0，ln（2x0﹣x）＞0，

∴H′（x）＞0，

∴H（x）在（1，x0）遞增，

即H（x）＜H（x0）=0，故（*）成立，

故x1+x2＜2x0成立

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理證出結(jié)論即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為證 ＜（2x0﹣x1）ln（2x0﹣x1），（1＜x1＜x0＜2），（*），設(shè)H（x）= ﹣（2x0﹣x）ln（2x0﹣x），（1＜x＜x0＜2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．