Question

7．與圓x²+y²+6x+5=0外切，同時與圓x²+y²-6x-55=0內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線？

Answer 1

分析 化兩圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，畫出圖形，由圖可知動圓圓心的軌跡是以E、F為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓（除去左頂點(diǎn)），則動圓圓心的軌跡方程可求．

解答 解：由x²+y²+6x+5=0，得（x+3）²+y²=4，
∴圓心E（-3，0），半徑為2，
由x²+y²-6x-55=0，得（x-3）²+y²=64，
∴圓心F（3，0），半徑為8，
設(shè)動圓圓心為P（x，y），半徑為r，
由動圓與圓x²+y²+6x+5=0外切，同時與圓x²+y²-6x-55=0內(nèi)切，如圖，
可得：|PE|+|PF|=r+2+8-r=10＞6，
∴動圓圓心的軌跡是以E、F為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓（除去左頂點(diǎn)），
由a=5，c=3，得b²=a²-c²=25-9=16．
∴方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x≠-5）．

點(diǎn)評 本題考查圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．