Question

15．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）
（1）求證數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列，并求該數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合遞推式求出a₂=2，a₃=2，由$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}≠\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$說明數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；再由a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=2$，說明a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…，及a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…成等比數(shù)列，公比為2，由此求得數(shù)列的通項公式；
（2）分n為偶數(shù)和奇數(shù)分別利用等比數(shù)列的前n項和求得答案．

解答 （1）證明：∵a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*），∴a₂=2，a₃=2，
∵$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}≠\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，
∴數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
∵a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*），則${a}_{n+1}{a}_{n+2}={2}^{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=2$，
∴a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…，及a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…成等比數(shù)列，公比為2，
∵a₁=1，a₂=2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，n為奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（2）解：S_n=a₁+a₂+…+a_n，
當(dāng)n為偶數(shù)時，S_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）=$\frac{1-{2}^{\frac{n}{2}}}{1-2}+\frac{2（1-{2}^{\frac{n}{2}}）}{1-2}$=$3（{2}^{\frac{n}{2}}-1）$；
當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1）=$\frac{1-{2}^{\frac{n+1}{2}}}{1-2}+\frac{2（1-{2}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-2}$=$2×{2}^{\frac{n+1}{2}}-3$．
因此，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{2×{2}^{\frac{n+1}{2}}-3，n為奇數(shù)}\\{3（{2}^{\frac{n}{2}}-1），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了分類求取數(shù)列的通項公式的方法，是中檔題．