Question

14．在直三棱柱中，AA₁=AB=BC=2，AC=1，D是AC中點．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求點B₁到平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AB₁，交A₁B于點O，連結(jié)OD，利用三角形的中位線定理，推導出OD∥B₁C，由此能夠證明B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）取A₁C₁的中點E，以D為原點，DC為x軸，DB為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點B₁到平面A₁BD的距離．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)AB₁，交A₁B于點O，連結(jié)OD
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=3，
∴ABB₁A₁是正方形，
∴O是AB₁的中點，
∵D是AC的中點，
∴OD是△ACB₁的中位線，
∴OD∥B₁C，
∵B₁C不包含于平面A₁BD，OD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
解：（Ⅱ）取A₁C₁的中點E，連結(jié)DE，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中點，
∴DE⊥平面ABC，BD⊥AC，
以D為原點，DC為x軸，DB為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標系，
AA₁=AB=BC=2，AC=1，
則B₁（0，$\frac{\sqrt{15}}{2}$，2），A₁（-$\frac{1}{2}$，0，2），D（0，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{15}}{2}$，0），
$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（0，$\frac{\sqrt{15}}{2}$，2），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（-$\frac{1}{2}$，0，2），$\overrightarrow{DB}$=（0，$\frac{\sqrt{15}}{2}$，0），
設平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{15}}{2}y=0}\\{-\frac{x}{2}+2z=0}\end{array}\right.$，
取x=4，得$\overrightarrow{n}$=（4，0，1），
∴點B₁到平面A₁BD的距離d=$\frac{2}{\sqrt{17}}$=$\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$．

點評 本題考查直線與平面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．