Question

2．設(shè)直線(xiàn)y=x+3與曲線(xiàn)C：y=x³+3ax²相交于點(diǎn)A，B，且曲線(xiàn)C在點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)斜率都為k，則k=（　�。�

• A． 1
• B． 3
• C． 6
• D． 9

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，得到函數(shù)在A，B點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，由A，B點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等得到3x₁²+6ax₁=3x₂²+6ax₂=k，把x₁，x₂看作方程3x²+6ax-k=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系得到x₁+x₂=-2a，x₁x₂=-$\frac{k}{3}$，進(jìn)一步得到AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后再證明AB的中點(diǎn)在曲線(xiàn)C上，最后由AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等求得實(shí)數(shù)a的值，再由直線(xiàn)方程和曲線(xiàn)方程聯(lián)立，求得A，B的橫坐標(biāo)，即可得到k的值．

解答 解：由y=x³+3ax²，得y′=3x²+6ax，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則曲線(xiàn)C在A，B處的切線(xiàn)的斜率分別為3x₁²+6ax₁，3x₂²+6ax₂，
由題意可得3x₁²+6ax₁=3x₂²+6ax₂=k，
∴x₁，x₂是方程3x²+6ax-k=0的兩個(gè)根，
則x₁+x₂=-2a，x₁x₂=-$\frac{k}{3}$，
下面證線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在曲線(xiàn)C上，
∵$\frac{{{x}_{1}}^{3}+3a{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{3}+3a{{x}_{2}}^{2}}{2}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}]+3a[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}]}{2}$
=$\frac{-8{a}^{3}-2ak+12{a}^{3}+2ak}{2}$=2a³，
而（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）³+3a（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²=（$\frac{-2a}{2}$）³+3a（$\frac{-2a}{2}$）²=2a³，
∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在曲線(xiàn)C上，
由x₁+x₂=-2a，知線(xiàn)段的中點(diǎn)為（-a，-a+3），
∴-a+3=-a³+3a•（-a）²=2a³，即為（a-1）（2a²+2a+3）=0，
解得a=1，
由y=x+3代入函數(shù)y=x³+3x²，可得（x-1）（x+1）（x+3）=0，
解得x=-3或-1或1，
即有x₁=-3，x₂=1．
則k=-3x₁x₂=9．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)方程，求解該題的主線(xiàn)是利用AB中點(diǎn)的坐標(biāo)相等，關(guān)鍵是證明AB的中點(diǎn)在曲線(xiàn)C上，是中檔題．