Question

（本小題滿分12分）

(1)已知函數(shù)f(x)＝2^x－x²，問方程f(x)＝0在區(qū)間[－1，0]內(nèi)是否有解，為什么？

(2)若方程ax²－x－1＝0在(0,1)內(nèi)恰有一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)　方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有解．(2) (2，＋∞)．

【解析】

試題分析：

（1）因?yàn)榈谝粏栔�，f(－1)＝2^－1－(－1)²＝－<0，

f(0)＝2⁰－0²＝1>0，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可知，結(jié)論。

（2）方程ax²－x－1＝0在(0,1)內(nèi)恰有一解，即函數(shù)f(x)＝ax²－x－1在(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則只要滿足端點(diǎn)的函數(shù)值一號即可。

(1)　因?yàn)閒(－1)＝2^－1－(－1)²＝－<0，

f(0)＝2⁰－0²＝1>0，

而函數(shù)f(x)＝2^x－x²的圖象是連續(xù)曲線，所以f(x)在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有零點(diǎn)，即方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有解．

(2)∵方程ax²－x－1＝0在(0,1)內(nèi)恰有一解，即函數(shù)f(x)＝ax²－x－1在(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，

∴f(0)·f(1)<0，即－1×(a－2)<0，解得a>2.

故a的取值范圍為(2，＋∞)．

考點(diǎn)：本題主要是考查函數(shù)零點(diǎn)的運(yùn)用。

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)零點(diǎn)的概念將方程解的問題轉(zhuǎn)換為關(guān)于圖像與圖像的交點(diǎn)問題來處理得到結(jié)論。