Question

18．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x）=f（-x），f（x+1）=-f（x），若f（x）在[-3，-2]上是減函數(shù)，$\frac{π}{4}$＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，則（　　）

• A． f（sinα）＞f（sinβ）
• B． f（cosα）＞f（cosβ）
• C． f（tanα）＞f（tanβ）
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 首先判斷函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，將x換成x+1，可得f（x）的最小正周期為2，由周期性可得f（x）在[0，1]上為增函數(shù)．運用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性，可得選項A錯，B正確，再由f（x）在[1，2]上為遞減，而1＜tanα＜tanβ，即可判斷C．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x）=f（-x），
則f（x）為偶函數(shù)，
f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
則f（x）為周期為2的函數(shù)．
f（x）在[-3，-2]上是減函數(shù)，
即有f（x）在[-1，0]上是減函數(shù)，
即f（x）在[0，1]上為增函數(shù)．
由$\frac{π}{4}$＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，
則$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinα＜sinβ＜1，
即有f（sinα）＜f（sinβ），故A錯；
又0＜cosβ＜cosα＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有f（cosβ）＜f（cosα），故B正確．
又f（x）在[1，2]上為遞減，
而1＜tanα＜tanβ，
則f（tanα），f（tanβ）不好判斷．
故選B．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性、周期性的判斷及運用，同時考查三角函數(shù)的圖象和單調(diào)性的運用，屬于中檔題．