Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，cosx）．函數(shù)f（x）=$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow-1$．
（1）求f（x）的對稱軸．
（2）當$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，求f（x）的最大值及對應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積公式求出f（x），然后利用三角函數(shù)的倍角公式化簡，令復合角為k$π+\frac{π}{2}$，求出x；
（2）利用（1），判斷復合角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性求最值．

解答 解：（1）由已知得到f（x）=$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow-1$=2（$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x）-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$….4
令2x+$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得$f（x）的對稱軸為x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，k∈z$．…7
（2）由（1）得$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，…9
∴當$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$時，即$x=\frac{π}{6}$時f（x）的最大值為2．…12

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的化簡和性質(zhì)；正確化簡三角函數(shù)式是解答的關(guān)鍵．