Question

14．已知$\root{3}{{2+\frac{2}{7}}}=2\root{3}{{\frac{2}{7}}}，\root{3}{{3+\frac{3}{26}}}=3\root{3}{{\frac{3}{26}}}，\root{3}{{4+\frac{4}{63}}}=4\root{3}{{\frac{4}{63}}}，…，\root{3}{{2015+\frac{m}{n}}}=2015\root{3}{{\frac{m}{n}}}$，
則$\frac{n+1}{m^2}$=2015．

Answer 1

分析 根據(jù)所給的式子的特點(diǎn)可得：7=2³-1，26=3³-1，63=4³-1，然后歸納推斷出m和n的值，代入式子求值即可．

解答 解：由題意得，$\root{3}{2+\frac{2}{7}}=2\root{3}{\frac{2}{7}}，\root{3}{3+\frac{3}{26}}=3\root{3}{\frac{3}{26}}，\root{3}{4+\frac{4}{63}}=4\root{3}{\frac{4}{63}}，…$
∵7=2³-1，26=3³-1，63=4³-1，
∴m=2015，n=2015³-1，則$\frac{n+1}{{m}^{2}}$=$\frac{201{5}^{3}-1+1}{201{5}^{2}}$=2015，
故答案為：2015．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），屬于基礎(chǔ)題．