Question

20．在極坐標系中，曲線C的方程為$ρ=4cosθ+2sinθ-\frac{3}{ρ}$，以極點O為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系．
（Ⅰ）求曲線C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）在直角坐標系中，點M（x，y）是曲線C上一動點，求x+y的最大值，并求此時點M的直角坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先把曲線轉(zhuǎn)化為：ρ²=4ρcosθ+2ρsinθ-3，整理得：（x-2）²+（y-1）²=2．進一步轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）所得的參數(shù)方程，進一步利用三角函數(shù)的恒等變換變換成正弦型三角函數(shù)，最后求出函數(shù)關(guān)系式的最值及坐標．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的方程為$ρ=4cosθ+2sinθ-\frac{3}{ρ}$，轉(zhuǎn)化為：ρ²=4ρcosθ+2ρsinθ-3，
整理得：（x-2）²+（y-1）²=2．
進一步轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
x+y=$3+\sqrt{2}（sinθ+cosθ）$，
=$3+2sin（θ+\frac{π}{4}）$，
當(dāng)且僅當(dāng)$θ=\frac{π}{4}$時，（x+y）_max=5．
M（3，2）為取得最大值時的坐標．

點評 本題考查的知識點：極坐標方程與參數(shù)方程和普通方程的互化，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題型．