(北京海淀模擬)設函數(shù)f(x)的定義域為R，若對任意的實數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f(x)為Ω函數(shù)．

(1)試判斷函數(shù)和中哪些是Ω函數(shù)，并說明理由；

(2)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對一切實數(shù)，均有，求證：函數(shù)f(x)一定是Ω函數(shù)；

(3)求證：若a＞1，則函數(shù)是Ω函數(shù)．

答案：略
解析：

證明：(1)∵|x||sin x|≤|x|，

是Ω函數(shù)；

∵，

∴不滿足|f(0)|≤|0|，

∴不是Ω函數(shù)；

∵當x=0時，顯然符合條件；當x≠0時，，

∴是Ω函數(shù)．

(2)∵函數(shù)y=f(x)是定義在R的奇函數(shù)，

∴f(－0)=－f(0)，即f(0)=0．

∴|f(x)－f(0)|≤|x－0|，即|f(x)|≤|x|，

∴函數(shù)f(x)一定是Ω函數(shù)．

(3)設F(x)=f(x)－x，則．

①當x＞0時，∵a＞1，

∴，

當x=0時，，

∴當x≥0時，．

∴F(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)．

F(x)≤F(0)，又F(0)=f(0)=0，

∴F(x)=f(x)－x≤0．

∵x＞0時，，

∴函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，

∴f(x)≥f(0)=0．

∴0≤f(x)≤x，即|f(x)|≤|x|．

②當x＜0時，－x＞0，∴|f(－x)|≤|－x|，

顯然f(x)為偶函數(shù)，

∴|f(x)|≤|－x|，即|f(x)|≤|x|，

∴在R上恒有|f(x)|≤|x|成立，則函數(shù)f(x)一定是Ω函數(shù)．


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