【題目】已知A,B分別是直線y=x和y=﹣x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的長為2 ,D是AB的中點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程;
(2)若過點(diǎn)(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)P、Q,
①當(dāng)|PQ|=3時(shí),求直線l的方程;
②試問在x軸上是否存在點(diǎn)E(m,0),使 恒為定值?若存在,求出E點(diǎn)的坐標(biāo)及定值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:設(shè)D(x,y),A(a,a),B(b,﹣b),
∵D是AB的中點(diǎn),∴x= ,y= ,
∵|AB|=2 ,∴(a﹣b)2+(a+b)2=12,
∴(2y)2+(2x)2=12,∴點(diǎn)D的軌跡C的方程為x2+y2=3
(2)解:①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),P(1, ),Q(1,﹣ ),此時(shí)|PQ|=2 ,不符合題意;
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣1),由于|PQ|=3,所以圓心C到直線l的距離為 ,
由 = ,解得k=± .故直線l的方程為y=± (x﹣1).
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=k(x﹣1),
由消去y得(k2+1)x2﹣2k2x+k2﹣3=0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)則由韋達(dá)定理得x1+x2= ,x1x2= ,
則 =(m﹣x1,﹣y1), =(m﹣x2,﹣y2),
∴ =(m﹣x1)(m﹣x2)+y1y2=m2﹣m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m2﹣m(x1+x2)+x1x2+k2(x1﹣1)(x2﹣1)
=m2﹣ + +k2 ( ﹣ +1)=
要使上式為定值須 =1,解得m=1,∴ 為定值﹣2,
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)P(1, ),Q(1,﹣ ),
由E(1,0)可得 =(0,﹣ ), =(0, ),
∴ =﹣2,
綜上所述當(dāng)E(1,0)時(shí), 為定值﹣2
【解析】(1)設(shè)D(x,y),A(a,a),B(b,﹣b),然后根據(jù)線段AB的長為2 ,D是AB的中點(diǎn)消去a與b,得到x與y的等量關(guān)系,即為動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程;(2)①討論直線l與x軸是否垂直,然后利用點(diǎn)到直線的距離公式建立等式關(guān)系,從而求出直線方程;②討論直線l的斜率是否存在,不存在時(shí)直接求 ,存在時(shí),將直線與圓聯(lián)立方程組,消去y,然后設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),將 表示出來,使其與k無關(guān)即可求出m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出40名學(xué)生,將其成績(均為整數(shù))分成六段后畫出如下部分頻率分布直方圖,觀察圖形的信息,回答下列問題:
(1)求第四小組的頻率,并補(bǔ)全頻率分布直方圖;
(2)估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分;
(3)從成績是~分及~分的學(xué)生中選兩人,記他們的成績?yōu)?/span>,求滿足“”的概率.
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【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1= ,且2an+1=an(n∈N+).
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn= ,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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【題目】設(shè)函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最值;
(Ⅱ)若函數(shù)有極值點(diǎn),求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)點(diǎn)在橢圓上,若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,連接并延長與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,連接,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F為棱AD、AB的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面CB1D1;
(2)求證:平面CAA1C1⊥平面CB1D1 .
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【題目】如圖所示,已知AB丄平面BCD,M、N分別是AC、AD的中點(diǎn),BC 丄 CD.
(1)求證:MN//平面BCD;
(2)若AB=1,BC=,求直線AC與平面BCD所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2016高考浙江理數(shù)】如圖,設(shè)橢圓(a>1).
(I)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a、k表示);
(II)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值
范圍.
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【題目】余江人熱情好客,凡逢喜事,一定要擺上酒宴,請親朋好友、同事高鄰來助興慶賀.歡度佳節(jié),迎親嫁女,喬遷新居,學(xué)業(yè)有成,仕途風(fēng)順,添丁加口,朋友相聚,都要以酒示意,借酒表達(dá)內(nèi)心的歡喜.而凡有酒宴,一定要?jiǎng)澣瑒澣怯嘟莆幕奶厣?余江人劃拳注重禮節(jié),形式多樣;講究規(guī)矩,蘊(yùn)含著濃厚的傳統(tǒng)文化和淳樸的民俗特色.在禮節(jié)上,講究“尊老尚賢敬遠(yuǎn)客”一般是東道主自己或委托桌上一位酒量好的劃拳高手來“做關(guān)”,——就是依次陪桌上會劃拳的劃一年數(shù)十二拳(也有半年數(shù)六拳).十二拳之后晚輩還要敬長輩一杯酒.
再一次家族宴上,小明先陪他的叔叔猜拳12下,最后他還要敬他叔叔一杯,規(guī)則如下:前兩拳只有小明猜叔贏叔叔,叔叔才會喝下這杯敬酒,且小明也要陪喝,如果第一拳小明沒猜到,則小明喝下第一杯酒,繼續(xù)猜第二拳,沒猜到繼續(xù)喝第二杯,但第三拳不管誰贏雙方同飲自己杯中酒,假設(shè)小明每拳贏叔叔的概率為,問在敬酒這環(huán)節(jié)小明喝酒三杯的概率是多少( )
(猜拳只是一種娛樂,喝酒千萬不要過量。
A. B. C. D.
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