【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線方程為,求的值;
(2)當時,求證:;
(3)設函數(shù),其中為實常數(shù),試討論函數(shù)的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)(2)見證明;(3)見解析
【解析】
(1)根據(jù)題意求出函數(shù)的導函數(shù),表示出切點的縱坐標,根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出方程,由此即可求出切點的橫坐標;
(2)設,求出函數(shù)的導函數(shù),令,列出表格,觀察即可判斷出函數(shù)的最小值,從而證明;
(3)根據(jù)題意,構造出函數(shù),求出函數(shù)的導函數(shù),分情況討論b的取值范圍,當b≤0,根據(jù)與0的關系判斷出的零點個數(shù);其次當b>0時,結(jié)合x的范圍判斷出函數(shù)的單調(diào)性,這里要注意當x>2時,根據(jù)b的范圍即、和來判斷的零點,由此即可知的零點個數(shù).
(1). 因為切線過原點,
所以 ,解得:.
(2)設,則.
令,解得.
在上變化時,的變化情況如下表
x | (0,2) | 2 |
|
- | 0 | + | |
|
|
|
所以 當 時,取得最小值.
所以 當時,,即.
(3)等價于,等價于.注意.
令,所以.
(I)當時, ,所以無零點,即在定義域內(nèi)無零點.
(II)當時,(i)當時,,單調(diào)遞增;
因為在上單調(diào)遞增,而,
又,所以.
又因為,其中,
取,表示的整數(shù)部分.所以,,由此.
由零點存在定理知,在上存在唯一零點.
(ii)當時,,單調(diào)遞減;
當時,,單調(diào)遞增.
所以當時,有極小值也是最小值,.
①當,即時,在上不存在零點;
②當,即時,在上存在唯一零點2;
③當,即時,由有,
而,所以在上存在唯一零點;
又因為,.
令,其中,,,,
所以,因此在上單調(diào)遞增,從而,
所以在上單調(diào)遞增,因此,
故在上單調(diào)遞增,所以.
由上得,由零點存在定理知,在上存在唯一零點,即在上存在唯一零點.
綜上所述:當時,函數(shù)的零點個數(shù)為0;
當時,函數(shù)的零點個數(shù)為1;
當時,函數(shù)的零點個數(shù)為2;
當時,函數(shù)的零點個數(shù)為3.
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【題目】(2017-2018學年安徽省六安市第一中學高三上學期第二次月考)已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)若函數(shù)的圖象與直線沒有交點,求的取值范圍;
(3)若函數(shù),是否存在實數(shù)使得的最小值為0,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,直線經(jīng)過點,其傾斜角為,以原點為極點,以軸為非負半軸為極軸,與坐標系取相同的長度單位,建立極坐標系.設曲線的極坐標方程為.
(1)若直線與曲線有公共點,求傾斜角的取值范圍;
(2)設為曲線上任意一點,求的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列的首項,是數(shù)列的前項和,且滿足.
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列,求的值;
(2)確定的取值集合,使時,數(shù)列是遞增數(shù)列.
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【題目】一個正三棱柱的三視圖如圖所示,若該三棱柱的外接球的表面積為,則側(cè)視圖中的的值為 ( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
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【題目】某商場對顧客實行購物優(yōu)惠活動,規(guī)定一次購物付款總額:
(1)如果不超過200元,則不給予優(yōu)惠;
(2)如果超過200元但不超過500元,則按標價給予9折優(yōu)惠;
(3)如果超過500元,其500元內(nèi)的按第(2)條給予優(yōu)惠,超過500元的部分給予7折優(yōu)惠.
某人單獨購買A,B商品分別付款168元和423元,假設他一次性購買A,B兩件商品,則應付款是
A. 413.7元 B. 513.7元 C. 546.6元 D. 548.7元
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【題目】若函數(shù)在區(qū)間上, , , , , , 均可為一個三角形的三邊長,則稱函數(shù)為“三角形函數(shù)”.已知函數(shù)在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
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【題目】已知冪函數(shù)f(x)=x (m∈N*).
(1)試確定該函數(shù)的定義域,并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性;
(2)若該函數(shù)還經(jīng)過點(2, ),試確定m的值,并求滿足條件f(2-a)>f(a-1)的實數(shù)a的取值范圍.
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