Question

5．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若橢圓上存在一點P，使得∠F₁PF₂=120°，則橢圓的離心率e的取值（　�。�

• A． [${\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，1）
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

Answer 1

分析 先根據(jù)橢圓定義得到|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁，再利用余弦定理，求出x₁²=$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$，利用橢圓的范圍列出不等式求出離心率的范圍．

解答 解：設(shè)，P（x₁，y₁），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c＞0，
則|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得 cos120°=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$
=$\frac{（a+e{x}_{1}）^{2}+（a-e{x}_{1}）^{2}-4{c}^{2}}{2（a+e{x}_{1}）（a-e{x}_{1}）}$=-$\frac{1}{2}$，
解得 x₁²=$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$．
∵x₁²∈[0，a²]，
∴0≤$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$≤a²，
即4c²-3a²≥0．且e²＜1，
∴e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故橢圓離心率的取范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．
故選A．

點評 本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．當(dāng)P點在短軸的端點時∠F₁PF₂值最大，這個結(jié)論可以記住它．在做選擇題和填空題的時候直接拿來解決這一類的問題．