Question

2．P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)．△ABC，△ABP．△ACP的面積分別對(duì)應(yīng)記為S，S₁，S₂．已知$\overrightarrow{CP}$=$\frac{3λ}{4}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{λ}{4}$$\overrightarrow{CB}$，其中λ∈（0，1）．若$\frac{S}{{S}_{1}}$=3則$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)E點(diǎn)滿(mǎn)足$\overrightarrow{CE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}$，則A，B，E三點(diǎn)共線(xiàn)，且E為線(xiàn)段AB靠近A點(diǎn)的四等分點(diǎn)，結(jié)合已知可得P為線(xiàn)段CE靠近E點(diǎn)的三等分點(diǎn)，結(jié)合同高三角形面積比等于底邊長(zhǎng)之比，可得答案．

解答 解：設(shè)E點(diǎn)滿(mǎn)足$\overrightarrow{CE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}$，
則A，B，E三點(diǎn)共線(xiàn)，且E為線(xiàn)段AB靠近A點(diǎn)的四等分點(diǎn)，
又∵$\overrightarrow{CP}$=$\frac{3λ}{4}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{λ}{4}$$\overrightarrow{CB}$，
故$\overrightarrow{CP}=λ\overrightarrow{CE}$，λ∈（0，1）．
即P在線(xiàn)段CE上，如下圖所示：
$\frac{S}{{S}_{1}}$=3，故P為線(xiàn)段CE靠近E點(diǎn)的三等分點(diǎn)，
故S₂=$\frac{2}{3}{S}_{△ACE}$=$\frac{1}{4}•\frac{2}{3}{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{2}$S₁，
故$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形面積公式，平面向量在幾何中的應(yīng)用，三點(diǎn)共線(xiàn)的向量法表示，難度中檔．