Question

11．如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC₁F所截得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1，則點(diǎn)F到平面AEC的距離為（　�。�

• A． $\frac{1}{7}$
• B． $\frac{\sqrt{21}}{7}$
• C． $\frac{4\sqrt{21}}{7}$
• D． $\frac{8}{7}$

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，則F（0，0，2），A（2，0，0），E（2，4，1），C（0，4，0），求出平面AEC的法向量，$\overrightarrow{AF}$=（-2，0，2），即可求出點(diǎn)F到平面AEC的距離．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則F（0，0，2），A（2，0，0），E（2，4，1），C（0，4，0），
設(shè)平面AEC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
∵$\overrightarrow{AE}$=（0，4，1），$\overrightarrow{AC}$=（-2，4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4y+z=0}\\{-2x+4y=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{n}$=（2，1，-4），
∵$\overrightarrow{AF}$=（-2，0，2），
∴點(diǎn)F到平面AEC的距離為$\frac{|-4-8|}{\sqrt{4+1+16}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查求點(diǎn)F到平面AEC的距離，考查向量方法的運(yùn)用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．