19．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知a+b=10，cosC是方程所2x2-3x-2=0的一個根，求△ABC周長的最小（　�。�
A．10+5$\sqrt{3}$B．15C．10+2$\sqrt{3}$D．20

分析 先由條件求得 cosC=-$\frac{1}{2}$，再由余弦定理可得 c2=（a-5）2+75，利用二次函數(shù)的性質求得c的最小值，即可求得△ABC周長a+b+c 的最小值．

解答 解：解方程2x2-3x-2=0可得x=2，或 x=-$\frac{1}{2}$．
∵在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2-3x-2=0的一個根，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$．
由余弦定理可得 c2=a2+b2-2ab•cosC=（a+b）2-ab，
∴c2=（a-5）2+75．
故當a=5時，c最小為$\sqrt{75}$=5$\sqrt{3}$，
故△ABC周長a+b+c 的最小值為 10+5$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題主要考查一元二次方程的解法、二次函數(shù)的性質以及余弦定理的應用，屬于中檔題．

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．已知數(shù)列{an}中，a1=a＞0，an+1=f（an）（n∈N*），其f（x）=$\frac{2x}{x+1}$．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想數(shù)列{an}的一個通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

10．△ABC中，sinA：sinB：sinC=$\sqrt{2}$：1：2，則cosA=$\frac{3}{4}$．

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7．對于函數(shù)f（x），若任給實數(shù)a、b、c，f（a），f（b），f（c）為某一三角形三邊長，則稱f（x）為“可構造三角形函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{2^x}+t}}{{{2^x}+1}}$是“可構造三角形函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�
A．[${\frac{1}{2}$，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

14．如圖所示是沿圓錐的兩條母線將圓錐削去一部分后所得幾何體的三視圖，其體積為$\frac{16π}{9}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，則圓錐的母線長為2$\sqrt{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$+lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x2．
（1）設h（x）=f（x）+g（x），求曲線y=h（x）在點（1，h（1））處的切線方程；
（2）證明：f（x）≤g（x）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{a^{2x}}}}{{a+{a^{2x}}}}$（a＞0，a≠1），則f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）=$\frac{2015}{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

8．n∈N*，${C}_{n}^{0}$+3${C}_{n}^{1}$+…+（2n+1）$C_n^n$=（n+1）2n．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ） 求角B的大小；
（Ⅱ） 設$\vec m$=（sinA，cos2A），$\vec n$=（4k，1）（k＞1），且$\vec m$•$\vec n$的最大值是7，求k的值．

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