Question

14．如圖所示是沿圓錐的兩條母線將圓錐削去一部分后所得幾何體的三視圖，其體積為$\frac{16π}{9}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，則圓錐的母線長為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由圓錐可得：該幾何體是沿圓錐的兩條母線將圓錐削去一部分后所得幾何體的三視圖，可知：圓錐底面的半徑r=2．可得∠AOB=120°．設(shè)圓錐的高為h，利用圓錐與三棱錐的體積計算公式可得該幾何體的體積為$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}π×{2}^{2}$×h+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$×h，解得h即可得出．

解答 解：由圓錐可得：該幾何體是沿圓錐的兩條母線將圓錐削去一部分后所得幾何體的三視圖，
可知：圓錐底面的半徑r=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2．
∴∠AOB=120°．
設(shè)圓錐的高為h，
∴體積$\frac{16π}{9}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}π×{2}^{2}$×h+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$×h，
解得h=2．
∴圓錐的母線長=$\sqrt{{r}^{2}+{h}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓錐的三視圖、圓錐的體積與三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．