Question

3．在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，2a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）²a_n+2（n-$\frac{1}{n}$）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_n+1-$\frac{{a}_{n}}{2}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)對(duì)2a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）²a_n+2（n-$\frac{1}{n}$）通分可知$\frac{2{a}_{n+1}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$+$\frac{2（n-1）}{n（n+1）}$，變形可知$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）^{2}}$-$\frac{2}{n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$-$\frac{2}{n}$），進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$-$\frac{2}{n}$}是以1為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知b_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$+n+2，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可知Q_n=3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵2a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）²a_n+2（n-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{2{a}_{n+1}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$+$\frac{2（n-1）}{n（n+1）}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$+$\frac{n-1}{n（n+1）}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）^{2}}$-$\frac{2}{n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$-$\frac{2}{n}$），
又∵$\frac{{a}_{1}}{{1}^{2}}-\frac{2}{1}$=3-2=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$-$\frac{2}{n}$}是以1為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$-$\frac{2}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n-1}}$+2n；
（2）由（1）可知b_n=a_n+1-$\frac{{a}_{n}}{2}$
=$\frac{（n+1）^{2}}{{2}^{n}}$+2（n+1）-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$-n
=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$+n+2，
記Q_n=3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
則$\frac{1}{2}$Q_n=3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$Q_n=3•$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴Q_n=3+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
=3+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$，
∴S_n=Q_n+$\frac{n（n+1）}{2}$+2n
=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n+2n
=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$n²+$\frac{5}{2}$n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．