Question

17．已知平行四邊形OABC，$\overrightarrow{OA}$=（4，2），$\overrightarrow{OC}$=（2，6），則$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{AC}$夾角的余弦是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． -$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 由向量的加法、減法法則和向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求出$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{AC}$夾角的余弦．

解答 解：因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜲ABC中，$\overrightarrow{OA}$=（4，2），$\overrightarrow{OC}$=（2，6），
所以$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$=（6，8），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（-2，4），
設(shè)$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{AC}$夾角是θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-12+32}{\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}×\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{20}{10×2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求向量夾角的余弦值，向量的加法、減法法則，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．