Question

5．已知函數(shù)|x²+3x|-a|x-1|=0有四個不同的實數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可知函數(shù)f（x）=|x²+3x|與g（x）=a|x-1|有四個不同的交點，作函數(shù)的圖象，并找出臨界值，結(jié)合圖象求范圍即可．

解答 解：∵方程|x²+3x|-a|x-1|=0有四個不同的實數(shù)根，
∴函數(shù)f（x）=|x²+3x|與g（x）=a|x-1|有四個不同的交點，
作函數(shù)f（x）=|x²+3x|與g（x）=a|x-1|的圖象如下，

當(dāng)-3＜x＜0時，
f（x）=|x²+3x|=-（x²+3x），f′（x）=-2x-3；
g（x）=a|x-1|=-ax+a；
設(shè)g（x）與f（x）相切于點A（b，f（b）），
則$\frac{f（b）-0}{b-1}$=-2b-3；
解得，b=-1或b=3（舍去）；
故-a=f′（-1）=2-3=-1；
故a=1；
結(jié)合圖象知，0＜a＜1．

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用，同時考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．