Question

15．已知函數(shù)y=f（x）的圖象是自原點出發(fā)的一條折線，當n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）時，該圖象是斜率為bⁿ的線段，其中常數(shù)b＞0且b≠1，數(shù)列{x_n}由f（x_n）=n（n=0，1，2…）定義．
（1）若b=3，求x₁，x₂；
（2）求x_n的表達式及f（x）的解析式（不必求f（x）的定義域）；
（3）當b＞1時，求f（x）的定義域，并證明y=f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的公共點．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0，運用直線的斜率公式，f（x_n）=n，可得x₁，x₂；
（2）由x₁=1，x₂=1+$\frac{1}$，…，x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₃-x₂）+…+（x_n-x_n-1），運用等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求；再由直線的斜率公式可得f（x）的解析式；
（3）當b＞1時，$\underset{lim}{x→∞}$x_n=$\frac{b-1}$，f（x）的定義域為[0，$\frac{b-1}$），證明b＞1，1＜x＜$\frac{b-1}$時，恒有f（x）＞x成立．運用f（x）的解析式，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）依題意f（0）=0，又由f（x₁）=1，當0≤y≤1時，
函數(shù)y=f（x）的圖象是斜率為b⁰=1的線段，
故由$\frac{f（{x}_{1}）-f（0）}{{x}_{1}-0}$=1，得x₁=1．
又由f（x₂）=2，當1≤y≤2時，函數(shù)y=f（x）的圖象是斜率為b的線段，
故由$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=b，
即x₂-x₁=$\frac{1}$=$\frac{1}{3}$，解得x₂=$\frac{4}{3}$；
（2）由（1）可得x₁=1，x₂=1+$\frac{1}$，
由函數(shù)y=f（x）圖象中第n段線段的斜率為b^n-1，
故得$\frac{f（{x}_{n}）-f（{x}_{n-1}）}{{x}_{n}-{x}_{n-1}}$=b^n-1，
又f（x_n）=n，f（x_n-1）=n-1，
∴x_n-x_n-1=（$\frac{1}$）^n-1，
由此知數(shù)列{x_n-x_n-1}為等比數(shù)列，其首項為1，公比為$\frac{1}$，
因b≠1，得x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₃-x₂）+…+（x_n-x_n-1）
=1+$\frac{1}$+（$\frac{1}$）²+…+=（$\frac{1}$）^n-1=$\frac{b-（\frac{1}）^{n-1}}{b-1}$=$\frac{^{n}-1}{^{n}-^{n-1}}$，
對n=1也成立，故x_n=$\frac{^{n}-1}{^{n}-^{n-1}}$；
當n≤y≤n+1時，$\frac{f（x）-f（{x}_{n}）}{x-{x}_{n}}$=bⁿ，
f（x）=f（x_n）+（x-x_n）bⁿ=n+（x-x_n）bⁿ（n=0，1，2，…）：
（3）當b＞1時，$\underset{lim}{x→∞}$x_n=$\frac{b-1}$，f（x）的定義域為[0，$\frac{b-1}$），
下面證明b＞1，1＜x＜$\frac{b-1}$時，恒有f（x）＞x成立．
事實上，對1＜x＜$\frac{b-1}$時，存在x_n，使x_n≤x≤x_n+1，
于是由b＞1時，f（x）=f（x_n）=bⁿ（x-x_n）＞x-x_n，
進而f（x）-x＞f（x_n）-x_n=n-x_n，
當b＞1時，x_n=1+$\frac{1}$+$\frac{1}{^{2}}$+…+$\frac{1}{^{n-1}}$＜n，
即n-x_n＞0，可得f（x）＞x．
綜上知，y=f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的公共點

點評 本題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識，考查歸納、推理和綜合的能力，屬于中檔題．